自分的にいまいちしっくりしてない要素ですが、使いどころとしては、本文中の補足や余談（sectionやarticleで囲った中で使う ※例1）、また削除してもメインコンテツに影響を与えないようなサイドバーや広告部分（※例2）などで使っています。
無理に使う必要はないと思ってるタグのひとつです。

asideの使用例1（補足や余談）

<article>
  <h2>記事タイトル</h2>
  <p>
  記事本文...
  </p>
  <aside>
    <p>補足的なテキスト</p>
  </aside>
</article>

asideの使用例2（サイドバー等）

<aside>
  <h3>広告</h3>
  <a href="http://www...">広告</a>
</aside>